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2010年02月27日

吉田(信)の京大数学 理系(乙)を解いた感想

こんにちは。研伸館数学科の吉田信夫です。

毎年2/25深夜に東大、2/26に京大の問題を解いています。
(今年は受験者がいたから阪大、神大、九大も解きました。
やはり阪大はヘビーでした。神大は簡単、九大は少し解きにくいところも…)。

ちゃんとした答案にはしないので、12題(理乙6+理甲6+文5−重複5)を
2時間くらいで解きます。

例年、理乙に2つくらい瞬殺できないものがありますが、今年は理乙「5」(2)のみ。
理乙「2」、「4」に失敗の可能性がありますが、それ以外の9題は簡単です。
「小問なしで、解法の選択肢が多い、易しい問題」という形が定着しています。

では、理乙の所感を(理甲、文は割愛)。


     <理乙「1」(理甲「2」と共通)>

『四面体で辺の垂直条件3つから、平面と辺の垂直を示す。』

私は始点を C にとって定石的に解きました。
「始点をすべて C に→展開」という常識とも言える流れです。

始点を統一せず、組み合わせ的に内積 0 を示すこともできます。

また、初等幾何でも解けそうです。
AB を直径とする球面を描くと、そこに C,D があります。
AB,CD が垂直だから、 CD を含み AB と垂直な平面が存在し、 AB との交点を
E としたら、EM ⊥ CD,AB ⊥ CDより、平面 ABM ⊥ CD 。

☆京大らしい図形問題ですが、少し易し過ぎる感がいなめません。
 常識的な研伸生には解けて欲しい問題です。

     <理乙「2」(理甲「3」と共通)>

『 A(0,1),B(0,2),P(x,x) (x>0) で∠ APB の max 。』

考えられるのは、

  1) 面積を利用して sin(∠APB) を x で→面倒な上、 sin は単調でない
  2) 余弦定理を利用して cos(∠APB) を x で→面倒
  3) 傾きを利用して tan(∠APB) を x で
    →センターA「3」の別解として紹介した、加法定理を利用する方法

相加相乗平均の関係で一発。 (tan の max) = 1 より、答えは 45 °。

  4) 初等幾何←けっこう天才的です!

AB を弦に持つ円を描く(∠AQB= (一定)となる Q の軌跡)。
y=x に接するものを考えると、その接点に P をとれば、答えになる。
方べきの定理から、 OP^2=2 なので、 P=(1,1) 。よって、 45 ° が最大値。

☆京大らしい図形問題ですが、少し易し過ぎる感がいなめません。
 常識的な研伸生には解けて欲しい問題です。
 (前問と同じ感想です。)

     <理乙「3」(理甲「5」と共通)>

『 y=sinx,y=acosx,x 軸 (0 ≦x≦π/2 ) で囲まれた面積が 2/3になる a 』

y=sinx,y=acosx の交点の x 座標を α などとおくだけです。
a と α が混在した形で面積が出るから、 tanα=a を用いて、文字を1つにします。
ルートが入るのは嫌なので、私は α にしました。
sinα=4/5 と分かるので、a=tanα=4/3 でおしまい。

☆誘導なしとは言え、さすがに簡単過ぎ?
 「これを落とす学生は要らない」という問題が3つ続きました。

     <理乙「4」>

『√3,a,b (1 < a < 2) を3辺の長さとする鋭角三角形。外接円の半径が 1 。
b を a で表せ。』

どう考えても正弦定理。
どう考えても√3 の対角。
どう考えても60 °になる。

ここで1つ気付きが必要!
直角三角形なら 1,2,√3 だから、鋭角になる条件:

   1 < a < 2,1 < b < 2

しかも、前者は仮定されています。

3辺と1角の関係を作れば良いので、余弦定理を使うのが自然でしょう。

   b^2-ab+a^2-1=0

左辺にb=1,2を代入したら、それぞれ負、正の値になるので、 b<1,1 < b < 2 に
1つずつ実数解があることが分かります。
解の公式で、大きい方の b が答え。

☆あまりに変なことをすると、泥沼にはまることも可能です。
 b の範囲に関する部分だけは頭を使いますから、少し差が付く問題だと思います。

     <理乙「5」> ←理乙で唯一小問あり


『(1) a=2^n (n は自然数)のとき、 3^a-1は 2^(n+2) で割り切れるが
  2^(n+3) で割り切れない。
(2) m は正の偶数。 3^m-1 が 2^m で割り切れるなら m=2,4 。』

(1)は、n=1,2くらいで実験しているうちに、帰納法でいけそうだと気付きます。

   3^(2^(n+1))-1={3^(2^n)}^2-1={3^(2^n)-1}{3^(2^n)+1}

から、性質が連鎖することが分かります。特に、

   3^(2^n)+1={3^(2^n)-1}+2

が 4 で割り切れない偶数になることがポイントです。

(2)は、際立って難しいと思います。
m=2,4 で成立することを確認したり、 m = 6,8 で割り切れないことを確認したり。
「 m=2k として k ≧ 3 で割り切れないことを帰納法で?」などと考えてしまいますが、
困ってしまいます。こんなときは…(1)を見る!

偶数のおき方:

   m=2^a ×(2k-1) (k は自然数)

は見たことがありますね。すると、

   3^m-1=3^(2^a ×(2k-1))-1={3^(2^a)}^(2k-1)-1

となり、

   (3^2)^5-1=(3^2-1){(3^2)^4+(3^2)^3+(3^2)^2+(3^2)+1}

のように因数分解できてしまいます。

   3^m-1={3^(2^a)-1}{ 2k-1 個の奇数の和}

より、 3^(2^a)-1 だけ見れば良く、ここは(1)で考えています。
(以下省略)

別解はあると思いますが、最も自然な解法はこれだと思います。

☆昨年に続き、整数が最も難しいです(昨年ほどではない)。
 (1)はいけると思いますが。
 このレベルがもう1題欲しいですね。

     <理乙「6」>

『 n 個の玉を 2n 個の箱に入れていく(独立)とき、どの箱にも1個以下しか
入っていない確率 p_n 。数列の極限 lim log(p_n)/n 。』

ボールに区別をつけて考えないと、“頻度を無視した場合の数”になる恐れが
あるので、区別します。
p_n は階乗、コンビネーションや (2n)^n で表されるので、 log を付けたら和に
なっています。 1/n もくっついているし、区分求積しかあり得ません。
(部分和が計算できる可能性も無いでしょう)
公式通りの形なので、積分化で間違えることはありませんし、積分計算も
ごく初歩的なものです。

☆誘導なしとは言え、さすがに簡単過ぎ?
 複数単元の要素を融合しているから、問題を解き慣れていないと苦しい?
 私が知っている受験生は、普通に解けていると思います。

     <まとめ>

ちょっと簡単過ぎです。
医学部志望などで「5」(2)以外は確実に解けそうな顔が何人も浮かんできます。

主観的難易度:

   「1」=「2」<「3」=「6」<「4」<<「5」

解く順が大事ですね。
私は、最初の10分くらいは全体を眺めて大体のイメージを掴んでから、本気で
解いていきます。
今回は、(素見時の難易度予想)=(解いた後の難易度)でした。
つまり、詰まるところが無く、簡単だということです。

真面目に勉強している人には、見ただけで解き方が分かる問題が多く、
そんな人たちは確実に合格点をとることができると思います。
ちゃんと勉強することを否定するわけではないですが、京大が欲する学生は
「真面目に勉強する学生」ではないと思います。
バクチ的な問題が2つくらいはないと、京大が欲する学生を発掘できないと思います。
また、京大受験指導が「基本解法の徹底練習」という悲しいものになってしまいます。

それと、半分が図形絡みの問題です。ちょっと偏り過ぎな気がします。


★文才の無さにより、やはり、問題を解くより、これを書く方が時間がかかりました。

吉田(信)の東大数学を解いた感想

こんにちは。研伸館数学科の吉田信夫です。

毎年2/25深夜は自宅で東大の問題を解いています。
ちゃんとした答案にはしないので、8題(理科6+文科4−重複2)を2時間で
解きます。大問8で小問は約20です。

例年は、1時間半程度でざっと解くと小問2個くらいが保留になっています。
残り時間で少なくとも1個は解決し、年により小問1個が終わらないこともあります。

今年は、保留は理「1」(2)の1つだけ。
理「6」(2)の検算に時間がかかり、ざっと解くのに1時間半以上かかりました。
が、理「1」(2)が解決して10完でした(「当たり前だ」と言われそうですが…)。

では、所感を。


     <理「1」>

『3辺の長さ a,b,c の直方体を、長さbの辺の周りに90°回転。直方体が通る部分 V。
(1) V の体積を a,b,c で。
(2) a+b+c=1 のとき、体積の変域。』

(1)は図を描くと瞬殺。
底面が「円の 1/4 と合同な直角三角形× 2 」で、高さが b の柱。

(2)は少し解きにくかった。体積は( a,c の2次式)× b の形。
「3次元線形計画法?」という愚かな解法が一瞬頭をよぎるが、即削除。
文字の役割は、 b だけ異質なので、普通に考えると、次の2択:

  1)  b=1-a-c で b を消去→ a,c の2変数関数
  2) 偏微分の考え方: max の max が真の max 方式で、 b を固定した変域
    →bを動かして真の変域へ。

1)を選択してみる。(体積)=( a,c の対称式)。
a+c=1-b なので、 ac=t とでもおけば、「解と係数→ D ≧ 0 」などからいける?
しかし、冷静に考えると、これは b を固定して考えるのと同じになっている。
解答としても2)の方が書きやすい。よって、2)に変更。

すると、 ac=t の1次式になり、 t の変域を線形計画法などで 0 求めておけば、 b を固定した変域はOK。
( b の2次式)≦(体積)<( b の2次式)となり、 0 変域を求めると、真の変域へ。

☆「先見性と柔軟性」または「解法を引き当てる強運」が必要で、点差が付く
 東大らしい良い問題です。
 上記1)、2)などは話したことがあるので、研伸生には解けて欲しい問題です。

     <理「2」>

『(1)分数関数の定積分値を分数で評価(任意の k での証明)。
(2) log の値、自然数の逆数和を分数で評価(任意の m,n での証明)。』

帰納法はNG(∵(1)は明らかに連鎖しにくい。(2)は2変数帰納法になる?)。
(1)で積分計算もNG(∵(2)に log があるので、積分計算するのは(2)のはず)。

(1)で考えられるのは、

  1) 被積分関数の max,min を利用(長方形近似)→関数が積の場合に有効。
  2) 積分の平均値の定理→存在する c の場所が重要になるから、無理っぽい。
  3) 困った時の1次近似←授業で何度もやったね!!

被積分関数を帯分数化して、凸性チェックすれば、補助線2本でおしまい。
ただし、接線の引き方にはいくつか選択肢があるが、最も考えやすい (1,0) で引くと
うまくいった(ここで嫌がらせするほど東大は“悪”でない)。

(2)は、(1)を使うに決まっています(東大で小問に分かれている場合、誘導である
確率は95%以上(吉田調べ))。

実際、(1)の中辺を積分計算すると、 (k+1){log(k+1)-logk}-1 になります。
(2)の中辺 log(m/n)-(1/k) を作るには、「 k+1 で割って、 k=n,n+1,…,m-1 の和」しか
あり得ません(和の定番:「差に分けて相殺」を思い出します)。
右辺の和はすぐに求めることができ、(2)の右辺になります。
左辺を作るところは、 (1/k^2) の評価で用いる k^21) を利用することに
気付く必要があります(数年前の後期総合科目でありましたね)。

☆最近の東大でよく見る、「大人の感覚」が必要な問題です。
 かなり多くの問題を解いた経験がなければ、スムーズには解けません。
 逆説的に考えると、多くの経験があれば解けるということにもなりますし、過去にも
 類似の考え方を使う問題は出題されてます。
 研伸生、いかにも私が作りそうな問題ですよね?だから解けてますかね?

     <理「3」(文「3」と共通)>

『確率の漸化式の問題。
(1)場合分けされた漸化式の作成。
(2)2nだけの一般項。
(3)4nだけの一般項。』

(1)は長い問題分をちゃんと理解すれば、簡単。
定石通り、「最初の1回が表か裏か」の場合分けでOK。
(ちゃんと理解できてるかな…日本語が苦手な人が多いから心配です…)
答えが x によって場合分けされています。

(2)は“2つおきの漸化式”を作れば、 x による場合分けが解消されます。
普通の二項間漸化式になり、難なく解けます。
(2)がいけたら(3)も同様なので、必ずいけます。

(2)、(3)は漸化式を無視して、等比数列の和でもOK(私は検算に使用)。
初項を求めていたら、「同じことの繰り返しや」と気付きました。
ちょっと前にもこのパターン(漸化式より楽になる)がありましたね。

☆ここは完答可能です。
 「0点」または「(1)のみ」または「完答」に分かれる問題です。
 よって、(3)は不要な気がします(文科では(1)(2)だけです)。
 誘導なしで、(2)だけでも良いのかも知れません(京大的になっちゃいますが)。
 個人的には、「設定は面白いんだから、もう少し練ってくれたらな」という問題でした。
 研伸生の顔を思い浮かべると、けっこう解けてると思います。

     <理「4」>

『ルートが入った関数。
(1)「グラフ上の点などを利用して作った三角形の面積が一定」を示す。
(2)グラフ上の2点と原点を結び、グラフとで囲まれる面積を求める。』

実は双曲線。
ルートを外して、 x=f(y) の形にしておいたから、かなり楽勝でした(天才!?)。

y=x と x 軸が漸近線なので、(1)は当たり前。
ただ、どう証明を書くかを悩む可能性はあるかも。

(1)はもちろん(2)で使います。等積変形です。
(高2の2月の授業でやったから、1年前のことを思い出してくれていたら余裕?)
x=f(y) にしておけば y での積分計算は、非常に簡単。

また、線分OPの通過領域と見て、しかも、 y をパラメータとしたら、面積速度で

   dS/dy=1/2|x(dy/dy)-y(dx/dy)|=2/y

となります。これもなかなか速い((1)の誘導を無視!)。

x=f(y) にしていないと、 x で立式して置換積分。
東大ファイナル予想問題演習に登場したパターン( tan または sinh で置換)に
なっているから、大丈夫かな?
双曲線なので、1次変換を利用することも可能だけど、逆に面倒になると思います。

☆あまり洗練された誘導とは言えないのが残念です。
  x=f(y) を作ったかどうか、双曲線であると気付いたか、によって体感難易度に大きく
 差が出ていると思います。
 “何も気付かない人”用の誘導と思えば、悪くはないのかも知れませんが…

     <理「5」(文「4」と共通)>

『同一円周上の3動点が直角二等辺三角形をなす条件』 ←小問なし

私は、1点 Q を止めて相対速度で考えたので、かなり楽勝でした(やはり天才!)。
6つほどの場合を丹念につぶすだけです。
真面目にやっても大したことはないと思います。

☆落とせない問題です。
 今年は本気の整数問題がありませんでした。
 毎年1問は整数があって、それを全学年(新中2~新高3)の3月初回授業でネタに
 しているんですが、今年は無理ですね。
 京大の整数問題は結構難しかったしな…(帰納法を使うので、高校生限定)
 どないしよ。。。

     <理「6」>

『等面四面体 OABC
(1) C から平面 OAB に引いた垂線の足 H の位置ベクトル
(2)一定法線ベクトルの平面で四面体を切った断面積
(3)(2)の断面積の最大値。』

過去にも等面四面体は出題されています(平常授業の演習問題にあります。
最終チェック講義の補充プリントもたまたま等面四面体でしたね!神?)。

定石通り直方体に内接させ、座標をとりました(具体的に与えられているので、
「鋭角三角形」チェックはなくても大丈夫でしょう)。

(1)は、平面の方程式を使ってHの座標を出してしまいました(ちょっとずるいですが、
東大ファイナルでもやりましたね。やはり、神降臨?)。
真面目にやってもたいしたことはありません。

(2)は、少し苦労しました。
外積などを駆使して、動く平面を式にしたりしましたが、無意味な作業でした。
(1)が誘導に決まってますから(今年の理科での誘導率=100%!)。
つまり、 H を含む切断面を表すのが t=2/9 であるから、 t=2/9 を分岐点として、
三角形と台形に分かれていると分かりました。
丁寧に相似比を見たら、面積を求めておしまい。

(3)は(2)ができた人へのサービス問題(なんせ、2次関数と3次関数ですから!)。

☆ちょっと面倒ですが、まあ何とかできる問題です。
 空間図形を平面で切る練習は、やっぱり大事です。
 今回は体積ではなかったですが、こんな形でも出してくるんですね。
 (いま思いつきました。(2)の答えを積分したものが四面体の体積と一致すれば、
 答えに自信がもて、検算になる!ちなみに、等面四面体の体積は、直方体から
 4つの角を削って求めます。)

     <文「1」>

『文字 θ を含む条件で平面内に3点を定める。
(1)2つの三角形の面積が等しくなるθ。
(2)2つの三角形の面積和の最大値。』

簡単です。中3レベルです。高1Sの5月の試験に出しても良いような問題です。
(1)が直接は(2)の誘導になっていません。
(1)で計算した面積をそのまま(2)でも使えるというだけです。
(2)は、有名角でない角度を使って合成するだけです。

☆さすがに完答?

     <文「2」>

『定積分であらわされた関数。』 ←小問なし。

簡単です。高1レベルです。高2S文の5月の試験に出しても良いような問題です。
係数比較までは、頭は不要です。
頭を使うのは、「連立を解くときに c≠0 を示せるか?」の一点だけ。

☆さすがに完答?

     <文「3」、「4」>


理科と共通。

     <まとめ>

誘導読解能力の有無が合否を大きく左右する試験になっています。
また、過去問の類題(広い意味で)が増える傾向にありそうです。
誤解をおそれず言うと、「私でも作れるような問題」が増えています。
その結果、私には非常に解きやすい問題でした。
つまり、

  1)ちょっとした大人の知識&感覚
  2)過去問データ
  3)日本語力

で乗り切れてしまう試験になっており、ある意味で知識重視になっています。

もう少し“知識不要の発想”重視の方が、対策しにくくなって良いと思います。
作成者は大変ですが、その方が受験生も、教師も楽しいでしょう。


★文才の無さにより、問題を解くより、これを書く方が時間がかかりました。

2010年02月15日

2月も半ば!

 こんにちわ、松本孝です!o(≧▽≦)o

 2週間ぶりの更新・・・(−−;

<高1、2生へ>
 オープンキャンパスお疲れ様でした!授業の雰囲気はどうでしたか?
 2週間後には新学年の授業が始まります。再度気を引き締めておきましょう!
(その前に、定期考査対策を頑張りましょう!)

<高3生へ>
 少しずつですが、私立大学の結果が発表されていますね。必ず結果がわかったら教えて下さいね!
 また、国公立2次試験まで後10日。最後まで「絶対合格するぞ!!」という気持ちを強く持ち続けましょう!p(^^)q

PS 最近ブログで書いた内容と正反対の事が時々おきます。例えば
 「雪がほとんど積もってないですね。」 → 約1週間後に少しだけ積もった。。。
 「雨があまり降らないですね〜」 → 2〜3日のうちに雨。。。
 たまたまなんでしょうけどね(^^;

 以上、松本孝でした!(^^)v


From 三田校の部屋

2010年02月01日

もう2月!

 こんにちわ、松本孝です(^^)v

 今日から2月です!なんだかあっという間に1月が終わったと感じるのは自分だけでしょうか?(・・?)

<高1、2生へ>
 今日、明日ぐらいにコース認定試験の結果が手元に届くと思います。詳しくはその結果を見てから話しましょう!
 また来週日曜日からオープンキャンパスが始まります。来年度の授業の雰囲気を知るために、必ず参加しましょう!まだ申込みをしていない人は、早く申し込みましょう!!!p(^^)q

<高2生へ>
 センター試験の中間集計その2が先日発表されました。数学IAでのポイントの1つが「場合の数・確率」。ここでは「数え上げ」が正確に、かつ、早く出来るかがポイントになります。この単元に苦手意識を持っている人は手元にある問題集の問題を毎日解いて、「数え上げ」のパターンを身につけましょう!


<高3生へ>
 私大入試がいよいよ本格的に始まりますね。今まで自分がコツコツやってきたことを信じて!チャイムが鳴るまで諦めずに!!最後まで粘るべし!!!

PS ふと思ったのですが、この冬雪がほとんど積もっていませんね。(昔は積もったのになぁ。。。)これも温暖化の影響なんでしょうか。。。(TへT)

 以上、松本孝でした!


From 三田校の部屋