吉田（信）の京大数学 理系（乙）を解いた感想
こんにちは。研伸館数学科の吉田信夫です。
毎年２／２５深夜に東大、２／２６に京大の問題を解いています。
（今年は受験者がいたから阪大、神大、九大も解きました。
やはり阪大はヘビーでした。神大は簡単、九大は少し解きにくいところも…）。
ちゃんとした答案にはしないので、１２題（理乙６＋理甲６＋文５−重複５）を
２時間くらいで解きます。
例年、理乙に２つくらい瞬殺できないものがありますが、今年は理乙「５」（２）のみ。
理乙「２」、「４」に失敗の可能性がありますが、それ以外の９題は簡単です。
「小問なしで、解法の選択肢が多い、易しい問題」という形が定着しています。
では、理乙の所感を（理甲、文は割愛）。
＜理乙「１」（理甲「２」と共通）＞
『四面体で辺の垂直条件３つから、平面と辺の垂直を示す。』
私は始点を C にとって定石的に解きました。
「始点をすべて C に→展開」という常識とも言える流れです。
始点を統一せず、組み合わせ的に内積 0 を示すこともできます。
また、初等幾何でも解けそうです。
AB を直径とする球面を描くと、そこに C,D があります。
AB,CD が垂直だから、 CD を含み AB と垂直な平面が存在し、 AB との交点を
E としたら、EM ⊥ CD,AB ⊥ CDより、平面 ABM ⊥ CD 。
☆京大らしい図形問題ですが、少し易し過ぎる感がいなめません。
常識的な研伸生には解けて欲しい問題です。
＜理乙「２」（理甲「３」と共通）＞
『 A(0,1),B(0,2),P(x,x) (x>0) で∠ APB の max 。』
考えられるのは、
１） 面積を利用して sin(∠APB) を x で→面倒な上、 sin は単調でない
２） 余弦定理を利用して cos(∠APB) を x で→面倒
３） 傾きを利用して tan(∠APB) を x で
→センター��A「３」の別解として紹介した、加法定理を利用する方法
相加相乗平均の関係で一発。 (tan の max) = 1 より、答えは 45 °。
４） 初等幾何←けっこう天才的です！
AB を弦に持つ円を描く（∠AQB= （一定）となる Q の軌跡）。
y=x に接するものを考えると、その接点に P をとれば、答えになる。
方べきの定理から、 OP^2=2 なので、 P=(1,1) 。よって、 45 ° が最大値。
☆京大らしい図形問題ですが、少し易し過ぎる感がいなめません。
常識的な研伸生には解けて欲しい問題です。
（前問と同じ感想です。）
＜理乙「３」（理甲「５」と共通）＞
『 y=sinx,y=acosx,x 軸 (0 ≦x≦π/2 ) で囲まれた面積が 2/3になる a 』
y=sinx,y=acosx の交点の x 座標を α などとおくだけです。
a と α が混在した形で面積が出るから、 tanα=a を用いて、文字を１つにします。
ルートが入るのは嫌なので、私は α にしました。
sinα=4/5 と分かるので、a=tanα=4/3 でおしまい。
☆誘導なしとは言え、さすがに簡単過ぎ？
「これを落とす学生は要らない」という問題が３つ続きました。
＜理乙「４」＞
『√3,a,b (1 < a < 2) を３辺の長さとする鋭角三角形。外接円の半径が 1 。
b を a で表せ。』
どう考えても正弦定理。
どう考えても√3 の対角。
どう考えても60 °になる。
ここで１つ気付きが必要！
直角三角形なら 1,2,√3 だから、鋭角になる条件：
1 < a < 2,1 < b < 2
しかも、前者は仮定されています。
３辺と１角の関係を作れば良いので、余弦定理を使うのが自然でしょう。
b^2-ab+a^2-1=0
左辺にb=1,2を代入したら、それぞれ負、正の値になるので、 b<1,1 < b < 2 に
１つずつ実数解があることが分かります。
解の公式で、大きい方の b が答え。
☆あまりに変なことをすると、泥沼にはまることも可能です。
b の範囲に関する部分だけは頭を使いますから、少し差が付く問題だと思います。
＜理乙「５」＞ ←理乙で唯一小問あり
『（１） a=2^n （n は自然数）のとき、 3^a-1は 2^(n+2) で割り切れるが
2^(n+3) で割り切れない。
（２） m は正の偶数。 3^m-1 が 2^m で割り切れるなら m=2,4 。』
（１）は、n=1,2くらいで実験しているうちに、帰納法でいけそうだと気付きます。
3^(2^(n+1))-1={3^(2^n)}^2-1={3^(2^n)-1}{3^(2^n)+1}
から、性質が連鎖することが分かります。特に、
3^(2^n)+1={3^(2^n)-1}+2
が 4 で割り切れない偶数になることがポイントです。
（２）は、際立って難しいと思います。
m=2,4 で成立することを確認したり、 m = 6,8 で割り切れないことを確認したり。
「 m=2k として k ≧ 3 で割り切れないことを帰納法で？」などと考えてしまいますが、
困ってしまいます。こんなときは…（１）を見る！
偶数のおき方：
m=2^a ×(2k-1) (k は自然数)
は見たことがありますね。すると、
3^m-1=3^(2^a ×(2k-1))-1={3^(2^a)}^(2k-1)-1
となり、
(3^2)^5-1=(3^2-1){(3^2)^4+(3^2)^3+(3^2)^2+(3^2)+1}
のように因数分解できてしまいます。
3^m-1={3^(2^a)-1}{ 2k-1 個の奇数の和}
より、 3^(2^a)-1 だけ見れば良く、ここは（１）で考えています。
（以下省略）
別解はあると思いますが、最も自然な解法はこれだと思います。
☆昨年に続き、整数が最も難しいです（昨年ほどではない）。
（１）はいけると思いますが。
このレベルがもう１題欲しいですね。
＜理乙「６」＞
『 n 個の玉を 2n 個の箱に入れていく（独立）とき、どの箱にも１個以下しか
入っていない確率 p_n 。数列の極限 lim log(p_n)/n 。』
ボールに区別をつけて考えないと、“頻度を無視した場合の数”になる恐れが
あるので、区別します。
p_n は階乗、コンビネーションや (2n)^n で表されるので、 log を付けたら和に
なっています。 1/n もくっついているし、区分求積しかあり得ません。
（部分和が計算できる可能性も無いでしょう）
公式通りの形なので、積分化で間違えることはありませんし、積分計算も
ごく初歩的なものです。
☆誘導なしとは言え、さすがに簡単過ぎ？
複数単元の要素を融合しているから、問題を解き慣れていないと苦しい？
私が知っている受験生は、普通に解けていると思います。
＜まとめ＞
ちょっと簡単過ぎです。
医学部志望などで「５」（２）以外は確実に解けそうな顔が何人も浮かんできます。
主観的難易度：
「１」＝「２」＜「３」＝「６」＜「４」＜＜「５」
解く順が大事ですね。
私は、最初の１０分くらいは全体を眺めて大体のイメージを掴んでから、本気で
解いていきます。
今回は、（素見時の難易度予想）＝（解いた後の難易度）でした。
つまり、詰まるところが無く、簡単だということです。
真面目に勉強している人には、見ただけで解き方が分かる問題が多く、
そんな人たちは確実に合格点をとることができると思います。
ちゃんと勉強することを否定するわけではないですが、京大が欲する学生は
「真面目に勉強する学生」ではないと思います。
バクチ的な問題が２つくらいはないと、京大が欲する学生を発掘できないと思います。
また、京大受験指導が「基本解法の徹底練習」という悲しいものになってしまいます。
それと、半分が図形絡みの問題です。ちょっと偏り過ぎな気がします。
★文才の無さにより、やはり、問題を解くより、これを書く方が時間がかかりました。